lunes, 23 de julio de 2007

Números primos

Los pitagóricos creían que los números lo eran todo. Los euclideanos, por su parte, entendían que la geometría era el tejido básico del Universo, y que solamente las ideas matemáticas que tenían formas de realización geométrica eran las que valían la pena tener en cuenta para estudiar.

En este tipo de matemáticas (la orientada a la geometría) todas las investigaciones nacían de una unidad de medida de longitud que sirva como base para compararse con cualquier otra longitud.

Dicho de otra manera, nacía el concepto de medición, y estas longitudes eran la realización geométrica de las matemáticas.

La adición de números corresponde a la sucesión, cabeza contra cola, de distintos "segmentos".

La multiplicación no es otra cosa que sucesivas adiciones.

Pronto fue evidente que no todos los números (longitudes) podían obtenerse como composición de segmentos (números) menores.

Como lo contrario de la multiplicación es la división, lo antes dicho se entiende como que hay números que no pueden descomponerse en otros números menores, por lo menos una cantidad exacta de veces.

Definimos a los números primos como aquellos que solo tienen como divisores a la unidad (1) y a sí mismos.

Ejemplos: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc.

Se demuestra que los números enteros NO primos pueden obtenerse como la multiplicación de una serie de números primos.

El número 39, por ejemplo, es igual a 3 x 13. El número 44 es igual a 2 x 2 x 11.

Cada número tiene una única forma de descomponerse en factores primos. Esto se llama el "teorema fundamental de la aritmética".

Y vamos llegando a lo interesante: como los primos no pueden descomponerse en factores, y como gracias a ellos los otros números pueden generarse, podemos decir que los números primos son como los "átomos" que componen a los números naturales.

Una forma sencilla de encontrar a los primeros números primos fue diseñada por Eratóstenes, (quien nació aproximadamente en el mismo año del fallecimiento de Euclides).

Eratóstenes fue el primero en calcular la circunferencia de la Tierra, solamente utilizando geometría básica y observaciones de la posición del Sol. Con su método pudo calcular la circunferencia de la Tierra con un error de solamente 450 kilómetros !!

Su método para encontrar primos se conoce como la "Criba de Eratóstenes" y es muy sencillo. Su única "limitación" es que se hace engorroso y poco práctico para detectar primos por sobre el número 100:

- Escriba los números entre el 2 y un "N" cualquiera.
- Comenzando por el 2, tache todos aquellos que sean sus múltiplos (o sea, los pares).
- Continúe con el 3, y tache a todos sus múltiplos.
- Continúe con el 4, y así sucesivamente hasta llegar a la raíz de "N".

Los números que no hayan sido tachados son los primos, entre 2 y "N".

Pues bien: además del hecho de ser los "ladrillos" de los números, qué otra cosa interesante tienen los primos?

Cantidad. De hecho, los números primos son entidades que fascinan a algunos matemáticos, habiendo presentado problemas que, aun hoy con el poder de los sistemas de computación actuales, no tienen respuesta.

Empecemos con la primer cuestión:

Cuántos números primos hay?
Respuesta: infinitos.

Qué tiene esto de intersante? Pues piense en que los números enteros ya son infinitos de por sí, y que los primos son un subconjunto de ellos, y también infinitos.

Cómo se distribuyen a lo largo de la recta numérica?
Respuesta: no se sabe con exactitud. Conocer la distribución (y por lo tanto, predecir la ocurrencia de los siguientes primos) es una especie de Santo Grial de las matemáticas.

La todavía no probada "hipótesis de Riemann", llamada así en nombre de su autor, Bernhard Riemann, propuso una ley para descifrar la distribución de los primos. De gran complejidad, solamente accesible para quienes tienen un alto grado de preparación en matemáticas, esta ley enunciada a mediados del siglo XIX continúa sin tener una prueba formal.

Mientras tanto, los matemáticos siguen con la búsqueda...

Hasta aquí llegamos por hoy. El tema es largo y muy complejo (de hecho, excede lo que puedo contarles de memoria) asi que prometo profundizar en el tema por mi lado, y contar aquí mis progresos.

Me despido, entonces, no sin contarles que, entre todos los primos, mi favorito es el 137.

Mas adelante les cuento porqué.

También, mas adelante en este blog, verán cómo se demuestra que los números primos son infinitos.

2 comentarios:

VeRa dijo...

Gueeeenas

Si si...la criba de Eratostenes la entiendo... pero lo que JAMAS entendi fue una cosa que estaba estudiando Pan, a la que llamaba "mejoramiento de la Criba de Eratóstenes".
Como se mejora una idea sencillamente genial? No lo sé, pero de ese hombre se podían esperar cosas bien insólitas.
Cosas como coincidencias estrafalarias, más parecidas a la magia...que en determinado punto simplemente me dediqué a aceptar (era eso, o la locura)

Por otro lado, ya no sé si curiosamente o no, en el libro que terminé de leer ayer de pronto, en medio del relato de terror, los personajes se ponen a hablar de una clave numérica, y uno dice que hay una maenar de cazar los números con una red, una red que se llama... la red (la criba) de Eratóstenes!!!
jaja!!

El libro corta su transmisión lineal y mecha un diseño en forma de rombo con los numeros del 1 al 100. Luego, para descifrar el código necesario, EXPLICAN la forma de hallar todos los numeros primos menores que 100.

Naaaaaaaaaaa.... demasiado
Too much!

Y yo que odiaba las mates...
jajajaja

VeRa dijo...

Flacus

repito el comentario en mi blog, sabe?
El ke avisa no es traidor... ;)