Números primos (II)

Este artículo es una suerte de continuación de uno anterior, en donde hablábamos de los números primos.

Hay infinitos números primos, y esto se sabe desde la época de Euclides (vivió alrededor del año 300 antes de Cristo). La demostración de los infinitos números primos se atribuye, precisamente, al famoso "Padre de la Geometría", de quien, hoy en día, se duda siquiera que haya existido.

Para comenzar, pensemos que exista una lista finita de números primos conocidos, y entonces tratemos de demostrar que existe un número infinito de adiciones a la misma.

La lista finita de números primos tiene una cantidad, digamos, de N integrantes, a los cuales podemos nombrar como Pr1, Pr2, Pr3, ... Prn.

Se podría generar, entonces, un número nuevo Nn de tal manera que:

Nn=(Pr1 x Pr2 x Pr3 x Pr4 x ... x Prn) + 1

El número nuevo Nn, puede ser (o no) primo.

Si Nn fuera primo, habríamos entonces logrado generar otro primo adicional a la lista, lo que implicaría que la misma no era completa, contradiciendo la hipótesis.

Si, por otro lado, Nn no fuera primo, será pues perfectamente divisible por algún primo (postulado del Teorema Fundamental de la Aritmética).

Ocurre que este número primo no puede ser ninguno de los primos de nuestra lista, porque la división de Nn por cualquiera de los primos conocidos anteriormente inevitablemente dejará como resto 1 (el mismo "1" que estamos sumando al final de la fórmula anterior).

La implicancia es que tiene, necesariamente, que existir un nuevo primo al que podríamos llamar Prn+1.

Si siguieron el proceso, verán que debemos reconocer dos posibles situaciones:

1 - Que Nn sea un nuevo número primo (que no estaba en la lista)
2 - Que tenemos otro primo nuevo, Prn+1 (que tampoco estaba en la lista)

Caramba, diremos, e ipso-facto agregaremos este nuevo número primo a la lista que, de comienzo, no estaba tan completa como nuestra hipótesis enunciaba.

Ahora si, decimos confiados, la lista está completa!!

Paso seguido, con esta nueva lista, repetimos el proceso, para encontar, al final del mismo, que nos ocurrirá una de las dos posibilidades anteriores:

1 - Un nuevo Nn1 que sea un nuevo número primo (que no estaba en la lista)
2 - Otro primo nuevo, Prn+2 (que tampoco estaba en la lista)

Bastará agregar al nuevo primo (sea Nn1 o Prn+2) a la lista, y repetir el proceso, para darse cuenta que el mismo no tiene fin.

Al final de cada iteración, un nuevo número primo se agregará a la lista, haciéndola infinita en extensión.

Moraleja: la cantidad de números primos es infinita.

(esta demostración es un clásico de las matemáticas, y, ante la duda, podrán encontrar mas material en la WEB)

Algo simpático, y ligeramente fuera del objetivo de este artículo, es hacerles pensar en que la lista de números enteros es infinita.

Y que la lista de los números naturales primos también es infinita.

A simple vista, uno puede deducir que hay mas (muchos mas) números no primos que primos... y tendrá razón. Esto nos llevaría a ver (dentro de una cantidad enorme de otros ejemplos) que aparentemente habría un tipo de infinito mas grande que el otro??

Esto será objetivo de otro artículo, mas adelante.

El segundo tema que les dejo para el futuro es saber si la aparición de los números primos, a lo largo de la recta numérica, es previsible.

Para ello (según les cuento en una entrada anterior), tendremos que recurrir a la difícil Hipótesis de Riemann.